જો z = frac{sqrt{3} + i}{2} હોય,તો left(z^{10 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{101}

Vedclass · Accepted Answer

$i$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}ight)$.ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{101} = \cos \left(\frac{101\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{101\pi}{6}ight)$.કારણ કે $\frac{101\pi}{6} = 17\pi - \frac{\pi}{6}$,તેથી $z^{101} = \cos \left(17\pi - \frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(17\pi - \frac{\pi}{6}ight) = -\cos \left(\frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}$.વળી,$i^{103} = i^{100} 	imes i^3 = 1 	imes (-i) = -i$.આમ,$z^{101} + i^{103} = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} - i = \frac{-\sqrt{3} - i}{2} = -\left(\frac{\sqrt{3} + i}{2}ight) = -z$.તેથી,$\left(z^{101} + i^{103}ight)^{105} = (-z)^{105} = -z^{105}$.$z^{105} = \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}ight)^{105} = \cos \frac{105\pi}{6} + i \sin \frac{105\pi}{6} = \cos \frac{35\pi}{2} + i \sin \frac{35\pi}{2}$.કારણ કે $\frac{35\pi}{2} = 18\pi - \frac{\pi}{2}$,તેથી $z^{105} = \cos \left(-\frac{\pi}{2}ight) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}ight) = 0 - i = -i$.અંતે,$-z^{105} = -(-i) = i$.

જો $z = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ હોય,તો $\left(z^{101} + i^{103}\right)^{105} = $

Similar Questions

જો $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ હોય,તો $\frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}+\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$ ની કિંમત શોધો.

જો $n$ એક ધન પૂર્ણાંક હોય, તો $(1 + i\sqrt{3})^{2n} + (1 - i\sqrt{3})^{2n}$ ની કિંમત ......... છે.

જો $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ સમીકરણ $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^{2021}+\beta^{2021}+\gamma^{2021}+\delta^{2021}$ ની કિંમત શોધો.

જો $1, \omega, \omega^{2}$ એ એકમના ઘનમૂળ હોય,તો $(1+\omega)(1+\omega^{2})(1+\omega^{4})(1+\omega^{8})$ ની કિંમત શોધો.

જો $\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma=0$ હોય,તો $\left(\cos ^3 \alpha+\cos ^3 \beta+\cos ^3 \gamma\right)^2+\left(\sin ^3 \alpha+\sin ^3 \beta+\sin ^3 \gamma\right)^2=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module