यदि (1+x)^n = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + ldots + | vedclass

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Question

(A) माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n p_k x^k$ के विस्तार में $

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$\frac{1}{3} \left[ 2^n + 2 \cos \frac{n \pi}{3} \right]$

Vedclass · Answer

(A) माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n p_k x^k$ के विस्तार में $x = 1, \omega, \omega^2$ रखने पर:$S_0 = (1+1)^n = 2^n = p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + \ldots$$S_1 = (1+\omega)^n = p_0 + p_1 \omega + p_2 \omega^2 + p_3 + \ldots$$S_2 = (1+\omega^2)^n = p_0 + p_1 \omega^2 + p_2 \omega + p_3 + \ldots$$p_0 + p_3 + p_6 + \ldots = \frac{1}{3} [S_0 + S_1 + S_2] = \frac{1}{3} [2^n + (1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n]$.चूँकि $(1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n = 2 \cos \frac{n \pi}{3}$,इसलिए उत्तर $\frac{1}{3} [2^n + 2 \cos \frac{n \pi}{3}]$ है।

यदि $(1+x)^n = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + \ldots + p_n x^n$ है,तो $p_0 + p_3 + p_6 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$ है। तो $3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 2a_5 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित श्रेणी $\frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \frac{C_3}{5} + \dots$ के $(n + 1)$ पदों का योग क्या है?

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