यदि n in N के लिए (1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया द्विपद विस्तार: $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर: $\i

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$\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$

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(C) दिया गया द्विपद विस्तार: $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर: $\int_{0}^{1} (1+x)^n dx = \int_{0}^{1} (C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n) dx$। बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर: $\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{(1+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$। दाएँ पक्ष का समाकलन करने पर: $\left[ C_0 x + \frac{C_1 x^2}{2} + \frac{C_2 x^3}{3} + \ldots + \frac{C_n x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1}$। दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$।

यदि $n \in N$ के लिए $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ है,तो $C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} =$

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