यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है, तो (2n+1) ^nC_0 | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यंजक $S = \sum_{r=0}^n (2n+1-2r) ^nC_r$ है।
योगफल का विस्तार करने पर:
$S = (2n+1) \sum_{r=0}^n {^nC_r} - 2 \sum_{r=0}^n r \cdot {^nC_

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$(n+1) 2^n$

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(A) दिया गया व्यंजक $S = \sum_{r=0}^n (2n+1-2r) ^nC_r$ है।
योगफल का विस्तार करने पर:
$S = (2n+1) \sum_{r=0}^n {^nC_r} - 2 \sum_{r=0}^n r \cdot {^nC_r}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^n {^nC_r} = 2^n$ और $\sum_{r=0}^n r \cdot ^nC_r = n \cdot 2^{n-1}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = (2n+1) \cdot 2^n - 2 \cdot (n \cdot 2^{n-1}) = (2n+1) \cdot 2^n - n \cdot 2^n = (2n+1-n) \cdot 2^n = (n+1) \cdot 2^n$.
साथ ही, यदि $f(x) = x^{n+1}$ है, तो $f'(x) = (n+1)x^n$, इसलिए $f'(2) = (n+1)2^n$.
अतः, विकल्प $A$ और $C$ दोनों सही हैं।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तो $(2n+1) ^nC_0 + (2n-1) ^nC_1 + (2n-3) ^nC_2 + \ldots + 1 \cdot ^nC_n$ का मान क्या है?

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