श्रेणी aC_0 + (a + b)C_1 + (a + 2b)C_2 + dots | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n} (a + rb)C_r$ है।इसे दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:$S = a \sum_{r=0}^{n} C_r + b \sum_{r=0}^{n} r C_r$.हम ज

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$(2a + nb)2^{n - 1}$

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(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n} (a + rb)C_r$ है।इसे दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:$S = a \sum_{r=0}^{n} C_r + b \sum_{r=0}^{n} r C_r$.हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$ होता है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$S = a(2^n) + b(n 2^{n-1})$.$2^{n-1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$S = 2a(2^{n-1}) + bn(2^{n-1})$.$S = (2a + nb) 2^{n-1}$.

श्रेणी $aC_0 + (a + b)C_1 + (a + 2b)C_2 + \dots + (a + nb)C_n$ का योग क्या है,जहाँ $C_r$,$(1 + x)^n, n \in N$ के विस्तार में संयोजी गुणांक को दर्शाता है?

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मान लीजिए $S = \frac{1}{25!} + \frac{1}{3!23!} + \frac{1}{5!21!} + \dots$ $13$ पदों तक है। यदि $13S = \frac{2^{k}}{n!}$ जहाँ $k \in N$ है, तो $n + k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a$ और $d$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं,तो निम्नलिखित श्रेणी के $(n + 1)$ पदों का योग $a{C_0} - (a + d){C_1} + (a + 2d){C_2} - \dots$ क्या होगा?

$(1+x)^{15}$ के विस्तार में अंतिम आठ क्रमागत गुणांकों का योग क्या है?

$\binom{30}{0}\binom{30}{10} - \binom{30}{1}\binom{30}{11} + \binom{30}{2}\binom{30}{12} - ....... + \binom{30}{20}\binom{30}{30}$ का मान क्या है?

यदि $\frac{1}{n+1} {}^{n}C_{n} + \frac{1}{n} {}^{n}C_{n-1} + \dots + \frac{1}{2} {}^{n}C_{1} + {}^{n}C_{0} = \frac{1023}{10}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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