मान लीजिए $S = \frac{1}{25!} + \frac{1}{3!23!} + \frac{1}{5!21!} + \dots$ $13$ पदों तक है। यदि $13S = \frac{2^{k}}{n!}$ जहाँ $k \in N$ है, तो $n + k$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $m, n \in \mathbb{N}$ और $\operatorname{gcd}(2, n)=1$ है। यदि $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

एक बाइनरी अनुक्रम $0$ और $1$ की एक सरणी है। $n$-अंकीय बाइनरी अनुक्रमों की संख्या जिनमें $0$ की संख्या सम हो,वह है

माना $n \in N$ और $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। यदि $(n+1)$ पदों ${}^{n}C_{0}, 3 \cdot {}^{n}C_{1}, 5 \cdot {}^{n}C_{2}, 7 \cdot {}^{n}C_{3}, \ldots$ का योग $2^{100} \cdot 101$ है,तो $2\left[\frac{n-1}{2}\right]$ का मान $....$ है।

श्रेणी $1 + \frac{1}{2} {}^{n}C_{1} + \frac{1}{3} {}^{n}C_{2} + \dots + \frac{1}{n+1} {}^{n}C_{n}$ का योग किसके बराबर है?

मान लीजिए $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$ है। तो $3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 2a_5 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ का मान ज्ञात कीजिए।