यदि omega इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो lef | vedclass

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Question

(B) चूंकि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ है। सामान्य पद $T_r = \left(r+\frac{1}{\omega}\right)\left

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$\frac{n(n^2+2)}{3}$

Vedclass · Answer

(B) चूंकि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ है। सामान्य पद $T_r = \left(r+\frac{1}{\omega}\right)\left(r+\frac{1}{\omega^2}\right)$ पर विचार करें। इसका विस्तार करने पर,हमें $T_r = r^2 + r\left(\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2}\right) + \frac{1}{\omega^3}$ प्राप्त होता है। चूंकि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$,इसलिए $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} = \omega^2 + \omega = -1$ है। साथ ही,$\frac{1}{\omega^3} = 1$ है। अतः,$T_r = r^2 - r + 1$ है। योग $\sum_{r=1}^n (r^2 - r + 1) = \sum_{r=1}^n r^2 - \sum_{r=1}^n r + \sum_{r=1}^n 1$ है। मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + n$। $= \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 6n}{6} = \frac{n[(n+1)(2n+1) - 3(n+1) + 6]}{6}$। $= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 + 6]}{6} = \frac{n[2n^2 + 4]}{6} = \frac{2n(n^2+2)}{6} = \frac{n(n^2+2)}{3}$।

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