यदि z एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि frac{z-1}{ | vedclass

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Question

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1) + iy}{x + i(y-1)}$ है।हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1) + iy)(x - i(y-1))}{x^2

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$4 r^2$

Vedclass · Answer

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1) + iy}{x + i(y-1)}$ है।हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1) + iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2}$ प्राप्त होता है।व्यंजक के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए: $x(x-1) + y(y-1) = 0$।यह $x^2 - x + y^2 - y = 0$ या $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।इसे वृत्त के समीकरण $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{2}$,$\beta = \frac{1}{2}$,और $r^2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1/2}{1/2} + \frac{1/2}{1/2} = 1 + 1 = 2$ है।चूंकि $r^2 = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $2 = 4r^2$ है। अतः,सही विकल्प $4r^2$ है।

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समुच्चय $\{z \in \mathbb{C} : 0 \leq \operatorname{Re}(z) \leq 1, 0 \leq \operatorname{Im}(z) \leq 1\}$ पर $e^{z^2}$ के मापांक का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z + 2| = |z - 2|$ और $\arg\left(\frac{z + 3}{z - i}\right) = \frac{\pi}{4}$ है। तो $|z|^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

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