જો $P(2,3)$ અને $Q(-1,2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+3y-2=0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી બિંદુઓ હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ધારો કે $AB$ એ $C$ મધ્યબિંદુ ધરાવતો રેખાખંડ છે અને $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. ધારો કે $C_1$ એ $AB$ વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ છે અને $C_2$ એ $AC$ વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $E$ એ $C_1$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $EC$ એ $AB$ ને લંબ હોય. ધારો કે $F$ એ $C_2$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $DF$ એ $AB$ ને લંબ હોય અને $E$ તથા $F$ એ $AB$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા હોય. તો,$\sin \angle FEC$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $6$ અને $8$ એ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ દ્વારા અનુક્રમે $X$ અને $Y$-અંત:ખંડો છે. જો $gx+fy+1=0$ એ $(1, -1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા હોય,તો વર્તુળ $S=0$ ની ત્રિજ્યા શોધો.

$(1,1)$ કેન્દ્ર ધરાવતા અને $x+y+1=0$ રેખા પર $4\sqrt{2}$ એકમ લંબાઈની જીવા કાપતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

જો $C(\alpha, \beta)$ જ્યાં $\alpha < 0$ એ એવા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય જે $Y$-અક્ષને $(0, 3)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને ધન $X$-અક્ષ પર $2$ એકમ લંબાઈનો અંતઃખંડ બનાવે છે,તો $(\alpha, \beta) =$

જો $4 \, \text{units}$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળની બે સમાંતર જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલી હોય અને કેન્દ્ર આગળ અનુક્રમે $\cos^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ અને $\sec^{-1}(7)$ ખૂણા આંતરતી હોય,તો આ જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.