यदि (1+x)^n = sum_{r=0}^n C_r x^r है,तो C_0 + | vedclass

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Question

(D) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k C_r$ है। योग के क्रम को बदलने पर,$S = \sum_{r=0}^n \sum_{k=r}^n C_r$ प्राप्त होता है। इसका सरलीकरण $S

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$(n+2) 2^{n-1}$

Vedclass · Answer

(D) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k C_r$ है। योग के क्रम को बदलने पर,$S = \sum_{r=0}^n \sum_{k=r}^n C_r$ प्राप्त होता है। इसका सरलीकरण $S = \sum_{r=0}^n C_r (n - r + 1)$ है। विस्तार करने पर,$S = (n+1) \sum_{r=0}^n C_r - \sum_{r=0}^n r C_r$ प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$S = (n+1) 2^n - n 2^{n-1}$। $S = 2n 2^{n-1} + 2^n - n 2^{n-1} = n 2^{n-1} + 2^n = (n+2) 2^{n-1}$।

यदि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ है,तो $C_0 + (C_0 + C_1) + (C_0 + C_1 + C_2) + \ldots + (C_0 + C_1 + C_2 + \ldots + C_n)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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