यदि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$ है,तो $\sum_{r=0}^n \frac{r}{{}^n C_r} = $

केवल $4, 5, 9$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई और $6$ से विभाज्य छह अंकों की कुल संख्याएँ $.........$ हैं.

एक होटल में चार कमरे उपलब्ध हैं। छह व्यक्तियों को इन चार कमरों में इस प्रकार समायोजित किया जाना है कि प्रत्येक कमरे में कम से कम एक व्यक्ति और अधिक से अधिक दो व्यक्ति हों। तो ऐसा करने के सभी संभावित तरीकों की संख्या . . . . . . . . है।

मान लीजिए $m$ और $n$ $(m < n)$ दो $2$-अंकीय संख्याएँ हैं। तो ऐसे युग्मों $(m, n)$ की कुल संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $\operatorname{gcd}(m, n) = 6$ हो।

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके चार अंकों की ऐसी संख्याएँ बनाई जाती हैं जिनमें सभी अंक भिन्न हों। यदि $p$ इस प्रकार बनी कुल संख्याएँ हैं और $q$ उनमें से $3400$ से बड़ी संख्याएँ हैं,तो $p: q=$

$7$ व्यंजनों और $4$ स्वरों में से, ऐसे शब्द बनाए जाते हैं जिनमें प्रत्येक में $3$ व्यंजन और $2$ स्वर हों। ऐसे कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?