જો $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-(10)^n}{1+(10)^{n+1}}=\frac{-\alpha}{10}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2+x+3}{x^2-x+2}\right]^x$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \begin{cases} x^2-1, & 0 < x < 2 \\ 2x+3, & 2 \leq x < 3 \end{cases}$ હોય,તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ શોધો જેના બીજ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$ અને $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x)$ હોય.

$\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{cosec} x\left(\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}-\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $a = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2}}{x^4}$ અને $b = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$ હોય,તો $ab^3$ ની કિંમત શોધો.

$a$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ જેના માટે $\lim_{x \rightarrow a}(\lfloor x-5 \rfloor - \lfloor 2x+2 \rfloor) = 0$ થાય,જ્યાં $\lfloor \alpha \rfloor$ એ $\alpha$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે,તે શું છે?