यदि a 0, b 0 है,तो lim _{n rightarrow inf | vedclass

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Question

(C) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a + b^{1 / n} - 1}{a}\right)^n$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln L = \lim _{n \ri

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$b^{1 / a}$

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(C) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a + b^{1 / n} - 1}{a}\right)^n$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \left(1 + \frac{b^{1 / n} - 1}{a}\right)$. सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,माना $x = \frac{b^{1 / n} - 1}{a}$. जैसे $n \rightarrow \infty$,$x \rightarrow 0$. $\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \left(\frac{b^{1 / n} - 1}{a}\right) \cdot \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a} (b^{1 / n} - 1)$. माना $t = 1/n$. जैसे $n \rightarrow \infty$,$t \rightarrow 0$. $\ln L = \frac{1}{a} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{b^t - 1}{t}$. चूंकि $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{b^t - 1}{t} = \ln b$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $\ln L = \frac{1}{a} \ln b = \ln(b^{1 / a})$. अतः,$L = b^{1 / a}$.

यदि $a > 0, b > 0$ है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a + b^{1 / n} - 1}{a}\right)^n =$

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