यदि f: R rightarrow R को f(x+y)=f(x)+f(y),for | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ फलन $f(x+y)=f(x)+f(y)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $\forall x, y \in R$ और $f(1)=5$ है। चूँकि $f(x+y)=f(x)+f(y)$,इ

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$\frac{5 n(n+1)}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $f: R ightarrow R$ फलन $f(x+y)=f(x)+f(y)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $\forall x, y \in R$ और $f(1)=5$ है। चूँकि $f(x+y)=f(x)+f(y)$,इसलिए किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $f(n)=n \cdot f(1)$ होता है। $f(1)=5$ दिया गया है,अतः $f(n)=5n$ प्राप्त होता है। हमें $\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n 5r$ का योग ज्ञात करना है। यह $5 \sum_{r=1}^n r$ के बराबर है। प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है। अतः,$\sum_{r=1}^n f(r) = 5 	imes \frac{n(n+1)}{2} = \frac{5n(n+1)}{2}$.

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x+y)=f(x)+f(y)$,$\forall x, y \in R$ और $f(1)=5$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $\sum_{r=1}^n f(r)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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