एक फलन f: R rightarrow R सभी x, y in R के लिए | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ है।$x=0$ और $y=0$ रखने पर, हमें $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(

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रैखिक (linear)

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(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x+y}{3}ight) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ है।$x=0$ और $y=0$ रखने पर, हमें $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(0)$ प्राप्त होता है, जो हमेशा सत्य है।मान लीजिए $f(0) = c$ है। तब $f\left(\frac{x+y}{3}ight) = \frac{f(x)+f(y)+c}{3}$ होगा।$y=0$ रखने पर, हमें $f\left(\frac{x}{3}ight) = \frac{f(x)+f(0)+c}{3} = \frac{f(x)+2c}{3}$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है कि $f(x) = 3f\left(\frac{x}{3}ight) - 2c$ है।चूंकि $f$, $x=0$ पर अवकलनीय है, मान लीजिए $f'(0) = a$ है।अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ है।फलन समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं कि $f(x)$ को $f(x) = ax+c$ के रूप का एक रैखिक फलन होना चाहिए।$f(x) = ax+c$ को मूल समीकरण में रखने पर: $a\left(\frac{x+y}{3}ight)+c = \frac{(ax+c)+(ay+c)+c}{3} = \frac{a(x+y)+3c}{3} = a\left(\frac{x+y}{3}ight)+c$ प्राप्त होता है।यह सभी $x, y$ के लिए सत्य है। अतः, $f(x)$ एक रैखिक फलन है।

एक फलन $f: R \rightarrow R$ सभी $x, y \in R$ के लिए $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ को संतुष्ट करता है। यदि फलन $f$, $x=0$ पर अवकलनीय है, तो $f$ है:

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