એક વિધેય f: R rightarrow R એ બધા x, y in R મા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ છે.$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા, આપણને $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(0)

Vedclass · Accepted Answer

સુરેખ (linear)

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left(\frac{x+y}{3}ight) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ છે.$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા, આપણને $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(0)$ મળે છે, જે હંમેશા સત્ય છે.ધારો કે $f(0) = c$. તો $f\left(\frac{x+y}{3}ight) = \frac{f(x)+f(y)+c}{3}$.$y=0$ મૂકતા, આપણને $f\left(\frac{x}{3}ight) = \frac{f(x)+f(0)+c}{3} = \frac{f(x)+2c}{3}$ મળે છે.આનો અર્થ એ છે કે $f(x) = 3f\left(\frac{x}{3}ight) - 2c$.કારણ કે $f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે, ધારો કે $f'(0) = a$.વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, $f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.વિધેય સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f(x)$ એ $f(x) = ax+c$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિધેય હોવું જોઈએ.$f(x) = ax+c$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $a\left(\frac{x+y}{3}ight)+c = \frac{(ax+c)+(ay+c)+c}{3} = \frac{a(x+y)+3c}{3} = a\left(\frac{x+y}{3}ight)+c$.આ બધા $x, y$ માટે સાચું છે. તેથી, $f(x)$ એ સુરેખ વિધેય છે.

એક વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ બધા $x, y \in R$ માટે $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ નું પાલન કરે છે. જો વિધેય $f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોય, તો $f$ એ:

Similar Questions

ધારો કે $a, b, c \in \mathbb{R}$. જો $f(x) = ax^2 + bx + c$ એવું હોય કે $a + b + c = 3$ અને $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy, \forall x, y \in \mathbb{R}$,તો $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ ની કિંમત શોધો:

જો $f(10-x)=3x^2+4x-5$ અને $f(x)=px^2+qx+r$ હોય,તો $p+q+r$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : R \rightarrow (0, \infty)$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y), \forall x, y \in R$. જો $f(3) = 320$ હોય,તો $\sum_{n=0}^5 f(n)$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module