ધારો કે f : R rightarrow (0, infty) એક વિકલની | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ છે.$x = 0$ અને $y = 0$ લેતા,$5f(0) = f(0)^2$ મળે. સહપ્રદેશ $(0, \infty)$ હોવાથી,$f(0) 
eq 0$,તેથી

Vedclass · Accepted Answer

$6825$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ છે.$x = 0$ અને $y = 0$ લેતા,$5f(0) = f(0)^2$ મળે. સહપ્રદેશ $(0, \infty)$ હોવાથી,$f(0) 
eq 0$,તેથી $f(0) = 5$.$y = 1$ લેતા,$5f(x + 1) = f(x) \cdot f(1)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f(x + 1)}{f(x)} = \frac{f(1)}{5}$.આ દર્શાવે છે કે $f(n)$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{f(1)}{5}$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $f(3) = f(0) \cdot r^3 = 5 \cdot r^3 = 320$.તેથી,$r^3 = 64$,જે આપણને $r = 4$ આપે છે.તેથી,$f(n) = f(0) \cdot r^n = 5 \cdot 4^n$.સરવાળો $\sum_{n=0}^5 f(n) = \sum_{n=0}^5 5 \cdot 4^n = 5(1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5)$ થશે.સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = a\frac{r^n - 1}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$5 \cdot \frac{4^6 - 1}{4 - 1} = 5 \cdot \frac{4096 - 1}{3} = 5 \cdot \frac{4095}{3} = 5 \cdot 1365 = 6825$ મળે.

ધારો કે $f : R \rightarrow (0, \infty)$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y), \forall x, y \in R$. જો $f(3) = 320$ હોય,તો $\sum_{n=0}^5 f(n)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એક સતત વિધેય છે જેથી $f(3x) - f(x) = x$ થાય. જો $f(8) = 7$ હોય,તો $f(14)$ ની કિંમત શોધો.

જો તમામ $x, y \in R$ માટે $f(x + y) = f(x) + f(y)$ અને $f(1) = 1$ હોય,તો $\lim_{x \to 0} \frac{2^{f(\tan x)} - 2^{f(\sin x)}}{f(\tan x) - f(\sin x)}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે એક વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ તમામ $x, y \in R$ માટે $f(x+y)=f(x) f(y)$ અને $f(1)=3$ નું પાલન કરે છે. જો $\sum_{i=1}^{n} f(i)=363$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module