मान लीजिए f : R rightarrow (0, infty) एक अवकल | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन समीकरण $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ है।$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$5f(0) = f(0)^2$ प्राप्त होता है। चूँकि सह-प्रांत $(0, \infty)$ है

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$6825$

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(C) दिया गया फलन समीकरण $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ है।$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$5f(0) = f(0)^2$ प्राप्त होता है। चूँकि सह-प्रांत $(0, \infty)$ है,इसलिए $f(0) 
eq 0$,अतः $f(0) = 5$ है।$y = 1$ रखने पर,$5f(x + 1) = f(x) \cdot f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{f(x + 1)}{f(x)} = \frac{f(1)}{5}$।यह दर्शाता है कि $f(n)$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $r = \frac{f(1)}{5}$ है।हम जानते हैं कि $f(3) = f(0) \cdot r^3 = 5 \cdot r^3 = 320$ है।अतः,$r^3 = 64$,जिससे $r = 4$ प्राप्त होता है।इसलिए,$f(n) = f(0) \cdot r^n = 5 \cdot 4^n$ है।योगफल $\sum_{n=0}^5 f(n) = \sum_{n=0}^5 5 \cdot 4^n = 5(1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5)$ होगा।गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S_n = a\frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करने पर,$5 \cdot \frac{4^6 - 1}{4 - 1} = 5 \cdot \frac{4096 - 1}{3} = 5 \cdot \frac{4095}{3} = 5 \cdot 1365 = 6825$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $f : R \rightarrow (0, \infty)$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y), \forall x, y \in R$। यदि $f(3) = 320$ है,तो $\sum_{n=0}^5 f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $f(x) + 2f(1/x) = 3x$ जहाँ $x \neq 0$ और $S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$ है,तो $S$:

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