यदि सभी x, y in R के लिए f(x + y) = f(x) + f( | vedclass

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Question

(A) दिए गए कौशी फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y)$ के लिए,हल $f(x) = cx$ के रूप में है।चूंकि $f(1) = 1$,इसलिए $c(1) = 1$,अतः $c = 1$। इस प्रकार,$f(x)

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$\log_e 2$

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(A) दिए गए कौशी फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y)$ के लिए,हल $f(x) = cx$ के रूप में है।चूंकि $f(1) = 1$,इसलिए $c(1) = 1$,अतः $c = 1$। इस प्रकार,$f(x) = x$ है।व्यंजक $\lim_{x 	o 0} \frac{2^{	an x} - 2^{\sin x}}{	an x - \sin x}$ बन जाता है।$u = 	an x$ और $v = \sin x$ लेने पर,जैसे ही $x 	o 0$,$u 	o 0$ और $v 	o 0$ होता है।व्यंजक $\lim_{x 	o 0} \frac{2^{	an x} - 2^{\sin x}}{	an x - \sin x} = \lim_{x 	o 0} \frac{2^{\sin x}(2^{	an x - \sin x} - 1)}{	an x - \sin x}$ है।मानक सीमा $\lim_{t 	o 0} \frac{a^t - 1}{t} = \ln a$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = 	an x - \sin x$:$= \lim_{x 	o 0} 2^{\sin x} \cdot \lim_{x 	o 0} \frac{2^{	an x - \sin x} - 1}{	an x - \sin x} = 2^0 \cdot \ln 2 = \ln 2 = \log_e 2$।

यदि सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$ और $f(1) = 1$ है,तो $\lim_{x \to 0} \frac{2^{f(\tan x)} - 2^{f(\sin x)}}{f(\tan x) - f(\sin x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $a, b, c \in \mathbb{R}$ है। यदि $f(x) = ax^2 + bx + c$ इस प्रकार है कि $a + b + c = 3$ और $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy, \forall x, y \in \mathbb{R}$,तो $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f$ एक ऐसा फलन है कि $f(x) + 3f\left(\frac{24}{x}\right) = 4x$,जहाँ $x \neq 0$ है। तो $f(3) + f(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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