यदि f(x) = frac{1 - sin x}{log(1 + pi^2 - 4pi | vedclass

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Question

(B) चूंकि $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $f\left(\frac{\pi}{2}ight) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}} f(x)$.माना $t = x - \frac{\pi}{2}$. जैस

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$\frac{1}{8}$

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(B) चूंकि $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $f\left(\frac{\pi}{2}ight) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}} f(x)$.माना $t = x - \frac{\pi}{2}$. जैसे $x 	o \frac{\pi}{2}$,वैसे $t 	o 0$.तब $x = t + \frac{\pi}{2}$.हर $\log(1 + \pi^2 - 4\pi(t + \frac{\pi}{2}) + 4(t + \frac{\pi}{2})^2) = \log(1 + \pi^2 - 4\pi t - 2\pi^2 + 4(t^2 + \pi t + \frac{\pi^2}{4})) = \log(1 + 4t^2)$ हो जाता है।अंश $1 - \sin(t + \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos t$ हो जाता है।अतः,$f\left(\frac{\pi}{2}ight) = \lim_{t 	o 0} \frac{1 - \cos t}{\log(1 + 4t^2)}$.मानक सीमाओं $\lim_{t 	o 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2}$ और $\lim_{u 	o 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए:$f\left(\frac{\pi}{2}ight) = \lim_{t 	o 0} \frac{(1 - \cos t)/t^2}{\log(1 + 4t^2)/(4t^2) 	imes 4} = \frac{1/2}{1 	imes 4} = \frac{1}{8}$.

यदि $f(x) = \frac{1 - \sin x}{\log(1 + \pi^2 - 4\pi x + 4x^2)}$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = $

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यदि फलन $f$ जो $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos 4x}{x^2}, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है और $x = 0$ पर सतत है,तो $a = $

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{8^x-4^x-2^x+1}{x^2}, & \text{यदि } x > 0 \\ e^x \sin x + x + \lambda \log 4, & \text{यदि } x \leqslant 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $1000 e^\lambda = $ का मान ज्ञात कीजिए।

दर्शाइए कि फलन $f$ जो $f(x) = \begin{cases} x^3 + 3, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,$x = 0$ पर संतत नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक परिमेय फलन अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत होता है।

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