यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 - bx + 2, & x < 3 \\ bx^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ प्रत्येक $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,तो रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि $f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x$ है, तो $f' \left( \frac{\pi}{4} \right)$ का मान है

List-$I$ में दी गई वस्तुओं का मिलान List-$II$ की वस्तुओं से करें:

List-$I$	List-$II$
$a$. यदि $y=|x|+|x-2|$ है, तो $x=2$ पर $\frac{dy}{dx}=$	$i$. $2$
$b$. यदि $f(x)=|\cos 2x|$ है, तो $f^{\prime}(\frac{\pi}{4}+)=$	$ii$. $0$
$c$. यदि $f(x)=\sin(\pi[x])$ है, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $f^{\prime}(1-)=$	$iii$. $-2$
$d$. यदि $f(x)=\log|x-1|, x \neq 1$ है, तो $f^{\prime}(\frac{1}{2})=$	$iv$. अस्तित्व नहीं है

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(0)=0$,$f(\frac{\pi}{2})=3$ और $f^{\prime}(0)=1$. यदि $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ जहाँ $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$,तो $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=$

माना $f: R \to R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $m$ में द्विघात समीकरण $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ के प्रत्येक $x \in R$ के लिए दो समान मूल हैं। यदि $f(0)=1$, $f^{\prime}(0)=2$ और $(\alpha, \beta)$ वह सबसे बड़ा अंतराल है जिसमें फलन $g(x) = f(\log_{e}x-x)$ वर्धमान है, तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(x)$ एक द्विघात व्यंजक है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए धनात्मक है। यदि $g(x) = f(x) + f'(x) + f''(x)$ है,तो किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,कौन सा सही है?