मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया समाकलन $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ है। ध्यान दें कि समाकल्य $f

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ है। ध्यान दें कि समाकल्य $f(t) \operatorname{cosec} t$ के गुणनफल का $t$ के सापेक्ष अवकलज है,क्योंकि $\frac{d}{dt} [f(t) \operatorname{cosec} t] = f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t$. अतः,$g(x) = [f(t) \operatorname{cosec} t]_x^{\pi / 2} = f(\frac{\pi}{2}) \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}) - f(x) \operatorname{cosec} x$. $f(\frac{\pi}{2})=3$ और $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2})=1$ मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(x) = 3 - \frac{f(x)}{\sin x}$ प्राप्त होता है। अब,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = \lim _{x \rightarrow 0} (3 - \frac{f(x)}{\sin x}) = 3 - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}$. $L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करते हुए,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{\cos x} = \frac{f^{\prime}(0)}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$. इसलिए,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = 3 - 1 = 2$.

Similar Questions

मान लीजिए $f: R \to R$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ है। तो $\lim_{x \to 2} \int_{6}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x)$,$[0, \infty)$ पर एक गैर-ऋणात्मक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(0)=0$ और सभी $x>0$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 2 f(x)$ है। तो,$[0, \infty)$ पर:

$p(0)=0$,सभी $x \neq 0$ के लिए $p(x) > x^2$ और $p^{\prime \prime}(0) = \frac{1}{2}$ को संतुष्ट करने वाले बहुपदों $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ की संख्या क्या है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module