मान लीजिए $f: R \to R$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ है। तो $\lim_{x \to 2} \int_{6}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[0, \infty) \rightarrow [0, 3]$ एक फलन है जो इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} \max \{\sin t : 0 \leq t \leq x\}, & 0 \leq x \leq \pi \\ 2 + \cos x, & x > \pi \end{cases}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$A$. यदि $y = |x| + |x - 2|$ है, तो $x = 2$ पर, $\frac{dy}{dx} =$	$I$. $2$
$B$. यदि $f(x) = |\cos 2x|$ है, तो $f'(\frac{\pi}{4} +) =$	$II$. $0$
$C$. यदि $f(x) = \sin(\pi[x])$ है, जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $f'(1-) =$	$III$. $-2$
$D$. यदि $f(x) = \log|x - 1|$, $x \neq 1$ है, तो $f'(\frac{1}{2}) =$	$IV$. अस्तित्व में नहीं है

फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & |x| > 1 \end{cases}$ है:

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$. तो:

यदि $y = \frac{1}{1 + x^{n-m} + x^{p-m}} + \frac{1}{1 + x^{m-n} + x^{p-n}} + \frac{1}{1 + x^{m-p} + x^{n-p}}$ है,तो $x = e^{m^{n^p}}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान क्या होगा?