ધારો કે $f: R \to R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જ્યાં $f(2) = 6$ અને $f'(2) = \frac{1}{48}$ છે. તો $\lim_{x \to 2} \int_{6}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ અને $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$. જો $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ હોય,તો $f(\beta)$ ની કિંમત શોધો.

જો $y=|\cos x-\sin x|+|\tan x-\cot x|$ હોય,તો $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=\frac{\pi}{3}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=\frac{\pi}{6}}=$

જો $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$ હોય, તો:

નીચેનામાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. સ્તંભ $I$ માં આપેલા વિધેયોને સ્તંભ $II$ માં આપેલા ગુણધર્મો સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ $f(x) = x|x|$	$(p)$ $(-1, 1)$ માં સતત છે
$(B)$ $f(x) = \sqrt{|x|}$	$(q)$ $(-1, 1)$ માં વિકલનીય છે
$(C)$ $f(x) = x + [x]$	$(r)$ $(-1, 1)$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે
$(D)$ $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$	$(s)$ $(-1, 1)$ માં ઓછામાં ઓછા એક બિંદુએ વિકલનીય નથી

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$I. f(x) = a x^{41} + b x^{-40} \Rightarrow \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = 1640 x^{-2}$
$II. \frac{d}{d x} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2}$
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?