यदि y = (1 + frac{1}{x}) (1 + frac{2}{x}) (1 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $y = \prod_{k=1}^{n} (1 + \frac{k}{x}) = \frac{(x+1)(x+2)...(x+n)}{x^n}$.दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:$\ln y = \sum_{k=1}^{n} \ln(1

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$(-1)^n (n - 1)!$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $y = \prod_{k=1}^{n} (1 + \frac{k}{x}) = \frac{(x+1)(x+2)...(x+n)}{x^n}$.दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:$\ln y = \sum_{k=1}^{n} \ln(1 + \frac{k}{x})$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{n} \frac{-k}{x(x+k)}$.गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए,$x = -1$ पर केवल वह पद बचेगा जिसमें $(x+1)$ गुणनखंड है।$\frac{dy}{dx} |_{x=-1} = (\frac{d}{dx} (1 + \frac{1}{x}))_{x=-1} \cdot (1 + \frac{2}{x}) (1 + \frac{3}{x}) ... (1 + \frac{n}{x}) |_{x=-1}$.$= (-1) \cdot (1-2)(1-3)...(1-n) = (-1) \cdot (-1)^{n-1} (n-1)! = (-1)^n (n-1)!$.

यदि $y = (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{2}{x}) (1 + \frac{3}{x}) . . . . . . (1 + \frac{n}{x})$ और $x \neq 0$ है,तो $x = -1$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

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