જો $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$ હોય,તો ગણ $\{(x, f(x)) \mid f^{\prime}(x)=0\}$ ના તમામ બિંદુઓ શેના પર આવેલા છે?

ધારો કે $x \in (0, 1)$ માટે $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$ છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ $f$ ને $(0, 1)$ માં એક શૂન્ય છે.
$II.$ $f$ એ $(0, 1)$ માં એકવિધ (monotone) છે.
તો,

$f(x)=4 \log _{e}(x-1)-2 x^{2}+4 x+5, x>1$,નીચેનામાંથી કયું સાચું નથી?

ધારો કે $f(x) = \min (\{x\}, \{e^{-x}\})$ જ્યાં $x \in [0, 10]$. જો $C$ અને $D$ એવા બિંદુઓની સંખ્યા છે જ્યાં $f(x)$ અનુક્રમે અસતત અને વિકલનીય નથી,તો $(C + D)$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે).

બે વિકલનીય વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ એવા છે કે જેથી તમામ $x \in (a,b)$ માટે $f''(x) > 0$ અને $g''(x) < 0$ થાય અને $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx$ છે. જો $x = \alpha, \beta \in (a,b)$ $(\alpha < \beta)$ માટે $f(x) = g(x)$ હોય,તો:

List $I$ ના વિધેયોને List $II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

List $I$	List $II$
$A. 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$	$(I)$ $x = 4$ પર ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે
$B. x + \frac{1}{x}, \forall x < 0$	$(II)$ $x = -1$ પર મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે
$C. x^4(7 - x)^3$	$(III)$ $x = 4$ પર મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે
$D. x^4 + (8 - x)^4$	$(IV)$ $[2, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે
	$(V)$ $[2, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે