यदि f(x)=x^3+a x^2+b x+5 sin ^2 x एक R पर वर् | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5 \sin^2 x$ एक $R$ पर वर्धमान फलन है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \ge 0$ होगा। $f'(x) = 3x^2 + 2ax +

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$a^2-3 b+15 < 0$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5 \sin^2 x$ एक $R$ पर वर्धमान फलन है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \ge 0$ होगा। $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b + 10 \sin x \cos x = 3x^2 + 2ax + b + 5 \sin 2x$. $f'(x) \ge 0$ के लिए,$f'(x)$ का न्यूनतम मान $\ge 0$ होना चाहिए। चूंकि $\sin 2x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है,इसलिए $5 \sin 2x$ का न्यूनतम मान $-5$ है। अतः,हमें सभी $x \in R$ के लिए $3x^2 + 2ax + b - 5 \ge 0$ की आवश्यकता है। द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C \ge 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु $A > 0$ और विविक्तकर $D = B^2 - 4AC \le 0$ होना चाहिए। यहाँ $A = 3$,$B = 2a$,और $C = b-5$ है। $D = (2a)^2 - 4(3)(b-5) \le 0$. $4a^2 - 12(b-5) \le 0$. $4$ से भाग देने पर,हमें $a^2 - 3(b-5) \le 0$ प्राप्त होता है। $a^2 - 3b + 15 \le 0$. चूंकि दिए गए विकल्प सख्त असमानता में हैं,इसलिए सही शर्त $a^2 - 3b + 15 < 0$ है।

यदि $f(x)=x^3+a x^2+b x+5 \sin ^2 x$ एक $R$ पर वर्धमान फलन है,तो

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