मान लीजिए lambda^{*} का वह सबसे बड़ा मान है ज | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f_{\lambda}(x) = 4\lambda x^{3} - 36\lambda x^{2} + 36x + 48$.फलन $f_{\lambda}(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए वर्धमान होने के ल

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$72$

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(D) दिया गया है $f_{\lambda}(x) = 4\lambda x^{3} - 36\lambda x^{2} + 36x + 48$.फलन $f_{\lambda}(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए वर्धमान होने के लिए,$f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ होना चाहिए।$f_{\lambda}^{\prime}(x) = 12\lambda x^{2} - 72\lambda x + 36$.$f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ रखने पर,$12(\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3) \geq 0$,अर्थात $\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3 \geq 0$.इस द्विघात समीकरण के सभी $x$ के लिए अऋणात्मक होने के लिए,$\lambda > 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ होना चाहिए।$D = (-6\lambda)^{2} - 4(\lambda)(3) = 36\lambda^{2} - 12\lambda \leq 0$.$12\lambda(3\lambda - 1) \leq 0$,जिससे $\lambda \in [0, 1/3]$ प्राप्त होता है।चूँकि $\lambda > 0$,सबसे बड़ा मान $\lambda^{*} = 1/3$ है।अब,$f_{\lambda^{*}}(x) = \frac{4}{3}x^{3} - 12x^{2} + 36x + 48$.$f_{\lambda^{*}}(1) = \frac{4}{3} - 12 + 36 + 48 = \frac{220}{3}$.$f_{\lambda^{*}}(-1) = -\frac{4}{3} - 12 - 36 + 48 = -\frac{4}{3}$.$f_{\lambda^{*}}(1) + f_{\lambda^{*}}(-1) = \frac{220}{3} - \frac{4}{3} = \frac{216}{3} = 72$.

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