ધારો કે lambda^{*} એ lambda ની એવી મહત્તમ કિં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $f_{\lambda}(x) = 4\lambda x^{3} - 36\lambda x^{2} + 36x + 48$.વિધેય $f_{\lambda}(x)$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે વધતું હોય તે માટે $f

Vedclass · Accepted Answer

$72$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $f_{\lambda}(x) = 4\lambda x^{3} - 36\lambda x^{2} + 36x + 48$.વિધેય $f_{\lambda}(x)$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે વધતું હોય તે માટે $f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ થવું જોઈએ.$f_{\lambda}^{\prime}(x) = 12\lambda x^{2} - 72\lambda x + 36$.$f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ લેતા,$12(\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3) \geq 0$,એટલે કે $\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3 \geq 0$.આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $x$ માટે અ-ઋણ રહે તે માટે $\lambda > 0$ અને વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.$D = (-6\lambda)^{2} - 4(\lambda)(3) = 36\lambda^{2} - 12\lambda \leq 0$.$12\lambda(3\lambda - 1) \leq 0$,જે દર્શાવે છે કે $\lambda \in [0, 1/3]$.$\lambda > 0$ હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $\lambda^{*} = 1/3$ મળે.હવે,$f_{\lambda^{*}}(x) = \frac{4}{3}x^{3} - 12x^{2} + 36x + 48$.$f_{\lambda^{*}}(1) = \frac{4}{3} - 12 + 36 + 48 = \frac{220}{3}$.$f_{\lambda^{*}}(-1) = -\frac{4}{3} - 12 - 36 + 48 = -\frac{4}{3}$.$f_{\lambda^{*}}(1) + f_{\lambda^{*}}(-1) = \frac{220}{3} - \frac{4}{3} = \frac{216}{3} = 72$.

Similar Questions

જો $a < 0$ હોય,તો વિધેય $f(x) = e^{ax} + e^{-ax}$ એ $x$ ના કયા મૂલ્યો માટે એકસૂત્રીય ઘટતું વિધેય છે?

સાબિત કરો કે $f(x) = \sin x$ દ્વારા આપવામાં આવેલ વિધેય $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

વિધેય $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 6$ એ ક્યારે ઘટતું વિધેય (monotonically decreasing) છે?

બધા બિંદુઓનો ગણ,જેના માટે $f(x) = x^2 e^{-x}$ ચુસ્ત રીતે વધે છે,તે છે

વિધેય $f(x) = x^x$ કયા અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module