f(x) = int {left( {2 - frac{1}{{1 + {x^2}}} - | vedclass

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Question

(C) $f(x)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = \int {\left( {2 - \frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1

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$(-\infty, \infty)$ में वर्धमान

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(C) $f(x)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = \int {\left( {2 - \frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} ight)} \,dx$,कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = 2 - \frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$।हम सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।$f'(x) = \frac{2(1 + {x^2}) - 1 - \sqrt{1 + {x^2}}}{1 + {x^2}} = \frac{2{x^2} + 1 - \sqrt{1 + {x^2}}}{1 + {x^2}}$।मान लीजिए $u = \sqrt{1 + {x^2}}$। चूंकि ${x^2} \ge 0$,इसलिए $u \ge 1$। अतः ${x^2} = {u^2} - 1$।अंश में यह मान रखने पर: $2({u^2} - 1) + 1 - u = 2{u^2} - u - 1 = (2u + 1)(u - 1)$।चूंकि $u \ge 1$,इसलिए $(u - 1) \ge 0$ और $(2u + 1) > 0$,अतः अंश $\ge 0$ है।विशेष रूप से,सभी $x 
eq 0$ के लिए $f'(x) > 0$ और $f'(0) = 0$ है।अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \ge 0$ होने के कारण,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में वर्धमान फलन है।

$f(x) = \int {\left( {2 - \frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)} \,dx$ है,तो $f$ है:

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किस अंतराल के लिए दिया गया फलन $f(x) = -2x^3 - 9x^2 - 12x + 1$ ह्रासमान (decreasing) है?

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