જો f(x)=x^3+a x^2+b x+5 sin ^2 x એ R પર વધતું | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5 \sin^2 x$ એ $R$ પર વધતું વિધેય છે,તેથી તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) \ge 0$ થાય. $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b + 10

Vedclass · Accepted Answer

$a^2-3 b+15 < 0$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5 \sin^2 x$ એ $R$ પર વધતું વિધેય છે,તેથી તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) \ge 0$ થાય. $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b + 10 \sin x \cos x = 3x^2 + 2ax + b + 5 \sin 2x$. $f'(x) \ge 0$ માટે,$f'(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\ge 0$ હોવી જોઈએ. કારણ કે $\sin 2x$ ની કિંમત $-1$ થી $1$ ની વચ્ચે હોય છે,તેથી $5 \sin 2x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે. આમ,આપણે તમામ $x \in R$ માટે $3x^2 + 2ax + b - 5 \ge 0$ ની જરૂર છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C \ge 0$ તમામ $x$ માટે સાચું હોય તે માટે $A > 0$ અને વિવેચક $D = B^2 - 4AC \le 0$ હોવું જોઈએ. અહીં $A = 3$,$B = 2a$,અને $C = b-5$ છે. $D = (2a)^2 - 4(3)(b-5) \le 0$. $4a^2 - 12(b-5) \le 0$. $4$ વડે ભાગતા,આપણને $a^2 - 3(b-5) \le 0$ મળે છે. $a^2 - 3b + 15 \le 0$. આપેલા વિકલ્પોમાં કડક અસમતા હોવાથી,સાચી શરત $a^2 - 3b + 15 < 0$ છે.

જો $f(x)=x^3+a x^2+b x+5 \sin ^2 x$ એ $R$ પર વધતું વિધેય હોય,તો

Similar Questions

કયા અંતરાલમાં વિધેય $f(x) = x^2 - x + 1$ એકસૂત્રીય (monotonic) નથી?

વિધેય $f(x) = 6 - 9x - x^{2}$ કયા અંતરાલોમાં ચુસ્ત રીતે વધતું કે ચુસ્ત રીતે ઘટતું છે તે શોધો.

જે અંતરાલમાં $y=x^{2} e^{-x}$ વધતું વિધેય છે તે અંતરાલ કયો છે?

ધારો કે $f(x) = \int\limits_1^x {\left( {t\ln(t) - \frac{{\ln(t)}}{t}} \right)dt}$ જ્યાં $x > 1$ છે. તો:

જે અંતરાલમાં વિધેય $f(x) = x^x, x > 0$ ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે તે અંતરાલ કયું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module