यदि x 0 है,तो frac{x}{1+x} - log(1+x) | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \frac{x}{1+x} - \log(1+x)$,जहाँ $x > 0$ है। सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} - \fr

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शून्य से कम है

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(A) माना $f(x) = \frac{x}{1+x} - \log(1+x)$,जहाँ $x > 0$ है। सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} - \frac{1}{1+x}$ $f'(x) = \frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{1+x} = \frac{1 - (1+x)}{(1+x)^2} = \frac{-x}{(1+x)^2}$. चूंकि $x > 0$ है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) इसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है $x > 0$ के लिए। जैसे $x 	o 0^+$,$f(x) 	o \frac{0}{1} - \log(1) = 0$। चूंकि फलन $0$ से शुरू होता है और $x > 0$ के लिए निरंतर घटता है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) < 0$ होगा।

यदि $x > 0$ है,तो $\frac{x}{1+x} - \log(1+x)$

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यदि $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ और $0 < b^2 < c$ है,तो $(-\infty, \infty)$ में:

माना $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$,$x \in R$,जहाँ $a, b$ और $d$ शून्येतर वास्तविक स्थिरांक हैं। तो:

फलन $f(x) = \frac{4x^2 + 1}{x}$ किस अंतराल में ह्रासमान (decreasing) है?

उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}}, x \neq 0$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$:
$(i)$ वर्धमान है
$(ii)$ ह्रासमान है।

सिद्ध कीजिए कि $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 100$ द्वारा प्रदत्त फलन $R$ में वर्धमान है।

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