उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}}, x \neq 0$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$:
$(i)$ वर्धमान है
$(ii)$ ह्रासमान है।

(N/A) $f(x) = x^{3} + x^{-3}$
$\therefore f'(x) = 3x^{2} - 3x^{-4} = 3x^{2} - \frac{3}{x^{4}} = \frac{3(x^{6} - 1)}{x^{4}}$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$3(x^{6} - 1) = 0 \Rightarrow x^{6} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
चूँकि $x \neq 0$,बिंदु $x = -1, 0, 1$ वास्तविक संख्या रेखा को $(-\infty, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, \infty)$ अंतरालों में विभाजित करते हैं।
$x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f$ वर्धमान है।
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f$ ह्रासमान है।
$x \in (0, 1)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f$ ह्रासमान है।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f$ वर्धमान है।
अतः,$f$ अंतराल $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ में वर्धमान है और $(-1, 0) \cup (0, 1)$ में ह्रासमान है।