यदि log (1+x)-frac{2x}{2+x} एक वर्धमान फलन है | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.फलन के परिभाषित होने के लिए,$1+x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > -1$.अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:$f'(x

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$0 < x < \infty$

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(A) माना $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.फलन के परिभाषित होने के लिए,$1+x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > -1$.अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$:$\frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} > 0$$\frac{4+x^2+4x - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} > 0$$\frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} > 0$चूँकि $x^2 \ge 0$ और $x 
eq -2$ के लिए $(2+x)^2 > 0$,असमिका तब सत्य होती है जब $1+x > 0$ और $x 
eq 0$ हो।अतः,$x > -1$ और $x 
eq 0$।

यदि $\log (1+x)-\frac{2x}{2+x}$ एक वर्धमान फलन है,तो

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फलन $f(x) = 1 - e^{-x^2/2}$ है

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