यदि alpha और beta सभी x in [-1, 1] के लिए f(x | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x)=(\sin ^{-1} x)^2+(\cos ^{-1} x)^2$. चूंकि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \s

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$11 \pi^2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x)=(\sin ^{-1} x)^2+(\cos ^{-1} x)^2$. चूंकि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$. माना $t = \sin ^{-1} x$. चूंकि $x \in [-1, 1]$,$t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. तब $f(t) = t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4}$. यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। इसका शीर्ष $t = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ पर है। चूंकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,न्यूनतम मान $t = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है। $\alpha = f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi^2}{16}) - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$. अधिकतम मान अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के अंतिम बिंदुओं पर प्राप्त होता है। $t = -\frac{\pi}{2}$ पर,$f(-\frac{\pi}{2}) = 2(-\frac{\pi}{2})^2 - \pi(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{5\pi^2}{4}$. $t = \frac{\pi}{2}$ पर,$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 - \pi(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{4}$. अतः,$\beta = \frac{5\pi^2}{4}$. अंत में,$8(\alpha + \beta) = 8(\frac{\pi^2}{8} + \frac{5\pi^2}{4}) = 8(\frac{\pi^2 + 10\pi^2}{8}) = 11\pi^2$.

यदि $\alpha$ और $\beta$ सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $f(x)=(\sin ^{-1} x)^2+(\cos ^{-1} x)^2$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं,तो $8(\alpha+\beta)=$

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