જો f(x) = x^alpha log x અને f(0) = 0 હોય,તો a | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) $[0, 1]$ અંતરાલ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,વિધેય $f(x)$ એ ત્રણ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ: $1$. $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત હોવું જોઈએ. $2$. $f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$1/2$

Vedclass · Answer

(D) $[0, 1]$ અંતરાલ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,વિધેય $f(x)$ એ ત્રણ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ: $1$. $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત હોવું જોઈએ. $2$. $f(x)$ એ $(0, 1)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ. $3$. $f(0) = f(1)$ હોવું જોઈએ. અહીં $f(x) = x^\alpha \log x$ અને $f(0) = 0$ આપેલ છે. પહેલા $f(0) = f(1)$ શરત તપાસીએ: $f(1) = 1^\alpha \log(1) = 1 	imes 0 = 0$. $f(0) = 0$ હોવાથી,$f(0) = f(1)$ શરત કોઈપણ $\alpha$ માટે સંતોષાય છે. હવે $x = 0$ આગળ સાતત્ય તપાસીએ: $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} x^\alpha \log x = 0$. આ લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $0$ થાય છે જો $\alpha > 0$ હોય. એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{\log x}{x^{-\alpha}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{1/x}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{x^\alpha}{-\alpha} = 0$ (જ્યારે $\alpha > 0$). આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\alpha = 1/2$ એ એકમાત્ર કિંમત છે જે $0$ કરતા મોટી છે.

જો $f(x) = x^\alpha \log x$ અને $f(0) = 0$ હોય,તો $\alpha$ ની કઈ કિંમત માટે $[0, 1]$ અંતરાલમાં રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય?

Similar Questions

અંતરાલ $x \in [0, 1]$ માં વિધેય $f(x) = x^2(1 - x)^2$ માટે રોલના પ્રમેય (Rolle's theorem) નું પાલન કરતું $c$ નું મૂલ્ય છે...

વિધેય $f(x) = |x - 2| + |x - 5|$,$x \in R$ ધ્યાનમાં લો.
વિધાન-$1$: $f'(4) = 0$.
વિધાન-$2$: $f$ એ $[2, 5]$ માં સતત છે,$(2, 5)$ માં વિકલનીય છે અને $f(2) = f(5)$ છે.

વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ માં સતત છે, $(a, b)$ માં વિકલનીય છે અને $f(a)=0=f(b)$ છે. તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module