यदि int frac{sqrt{1-x^4}}{x^7} d x=f(x)left{s | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^7} dx$. $x^2 = u$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = du$,जिससे $dx = \frac{du}{2\sqrt{u}}$ प्राप्त होता है। अतः $I

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$\frac{-1}{216 x^{18}}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^7} dx$. $x^2 = u$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = du$,जिससे $dx = \frac{du}{2\sqrt{u}}$ प्राप्त होता है। अतः $I = \int \frac{\sqrt{1-u^2}}{u^{7/2}} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{1-u^2}}{u^4} du$. $u = \sin v$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \cos v dv$ प्राप्त होता है। $I = \frac{1}{2} \int \frac{\cos^2 v}{\sin^4 v} dv = \frac{1}{2} \int \cot^2 v \csc^2 v dv$. $\cot v = w$ लेने पर,$-\csc^2 v dv = dw$ प्राप्त होता है। $I = \frac{1}{2} \int -w^2 dw = -\frac{1}{2} \cdot \frac{w^3}{3} + C = -\frac{1}{6} \cot^3 v + C$. चूंकि $\cot v = \frac{\sqrt{1-u^2}}{u} = \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^2}$,इसलिए $I = -\frac{1}{6} \left( \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^2} \right)^3 + C = -\frac{1}{6x^6} (\sqrt{1-x^4})^3 + C$. $f(x) \{\sqrt{1-x^4}\}^n + C$ से तुलना करने पर,$f(x) = -\frac{1}{6x^6}$ और $n = 3$ प्राप्त होता है। अतः,$(f(x))^n = (-\frac{1}{6x^6})^3 = -\frac{1}{216x^{18}}$.

यदि $\int \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^7} d x=f(x)\left\{\sqrt{1-x^4}\right\}^n+C$ है,तो $(f(x))^n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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