જો $f(x) = \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}}$ અને $\int_{-5}^5 f(x) dx = \int_0^5 (f(x) + g(x)) dx$ હોય,તો $g(x) =$

$\int_{\,\pi /6}^{\,\pi /3} {\,\frac{{dx}}{{1 + \sqrt {\cot x} }}} $ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[-2, 3] \to [0, \infty)$ એક સતત વિધેય છે જેથી દરેક $x \in [-2, 3]$ માટે $f(1-x) = f(x)$ થાય. જો $R_1$ એ $y = f(x)$,$x = -2$,$x = 3$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ હોય અને $R_2 = \int_{-2}^3 x f(x) dx$ હોય,તો:

$\int_{1}^{6\pi}([\sec^{-1}x]+[\cot^{-1}x])dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે).

સાબિત કરો કે $\int_{-1}^{1} x^{17} \cos^{4} x \, dx = 0$.

$\int_{0}^{\pi /2} {\sin 2x \log \tan x \, dx}$ ની કિંમત શોધો.