यदि [ cdot ] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता ह | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-1}^1 (x[1+\sin(\pi x)]+1) dx$. फलन $f(x) = x[1+\sin(\pi x)]+1$ पर विचार करें। जब $x \in [-1, 0]$ है,तब $\sin(\pi x) \in [-1, 0]$,

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$\frac{5}{2}$

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(C) माना $I = \int_{-1}^1 (x[1+\sin(\pi x)]+1) dx$. फलन $f(x) = x[1+\sin(\pi x)]+1$ पर विचार करें। जब $x \in [-1, 0]$ है,तब $\sin(\pi x) \in [-1, 0]$,इसलिए $1+\sin(\pi x) \in [0, 1]$। अतः,$x \in (-1, 0)$ के लिए $[1+\sin(\pi x)] = 0$ होगा। जब $x \in [0, 1]$ है,तब $\sin(\pi x) \in [0, 1]$,इसलिए $1+\sin(\pi x) \in [1, 2]$। अतः,$x \in (0, 1)$ के लिए $[1+\sin(\pi x)] = 1$ होगा। इसलिए,$I = \int_{-1}^0 (x \cdot 0 + 1) dx + \int_0^1 (x \cdot 1 + 1) dx$. $I = \int_{-1}^0 1 dx + \int_0^1 (x+1) dx$. $I = [x]_{-1}^0 + [\frac{x^2}{2} + x]_0^1$. $I = (0 - (-1)) + ((\frac{1}{2} + 1) - 0)$. $I = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

यदि $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो $\int_{-1}^1 (x[1+\sin(\pi x)]+1) dx = $

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