જો int_0^pi frac{d x}{1+2 sin ^2 x}=k હોય,તો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$.કારણ કે વિધેય $f(x) = \frac{1}{1+2 \sin ^2 x}$ માટે $f(\pi - x) = f(x)$ થાય છે,તેથી આપણે લખી શક

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$.કારણ કે વિધેય $f(x) = \frac{1}{1+2 \sin ^2 x}$ માટે $f(\pi - x) = f(x)$ થાય છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$.અંશ અને છેદને $\cos ^2 x$ વડે ભાગતા:$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{\sec ^2 x + 2 	an ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + 	an ^2 x + 2 	an ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + 3 	an ^2 x} d x$.ધારો કે $	an x = t$,તો $\sec ^2 x d x = d t$. જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x 	o \pi / 2, t 	o \infty$.$I = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + 3 t^2} = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + (\sqrt{3} t)^2}$.સૂત્ર $\int \frac{dx}{1+a^2x^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(ax)$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\sqrt{3} t) ight]_0^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$.આપેલ છે કે $k = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx \frac{3.14159}{1.732} \approx 1.81$.$k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $\lfloor 1.81 floor = 1$ છે.

જો $\int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}=k$ હોય,તો $k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક શોધો.

Similar Questions

$\int_{-2}^{2} |x| \, dx = $

વિધાન $(A)$: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin x)^{\sqrt{2}} dx}{(\sin x)^{\sqrt{2}}+(\cos x)^{\sqrt{2}}} = \frac{\pi}{12}$
કારણ $(R)$: $\int_{a}^{b} \frac{f(x) dx}{f(x)+f(a+b-x)} = \frac{b-a}{2}$

ધારો કે $[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq t$ દર્શાવે છે. તો $\frac{2}{\pi} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (8[\operatorname{cosec} x] - 5[\cot x]) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x $ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+2^x} \,d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module