यदि int_0^pi frac{d x}{1+2 sin ^2 x}=k है,तो | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$ है।चूंकि फलन $f(x) = \frac{1}{1+2 \sin ^2 x}$ के लिए $f(\pi - x) = f(x)$ सत्य है,हम लिख सकते हैं:$

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(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$ है।चूंकि फलन $f(x) = \frac{1}{1+2 \sin ^2 x}$ के लिए $f(\pi - x) = f(x)$ सत्य है,हम लिख सकते हैं:$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$।अंश और हर को $\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर:$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{\sec ^2 x + 2 	an ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + 	an ^2 x + 2 	an ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + 3 	an ^2 x} d x$।माना $	an x = t$,तब $\sec ^2 x d x = d t$। जब $x = 0, t = 0$ और जब $x 	o \pi / 2, t 	o \infty$।$I = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + 3 t^2} = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + (\sqrt{3} t)^2}$।सूत्र $\int \frac{dx}{1+a^2x^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(ax)$ का उपयोग करने पर:$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\sqrt{3} t) ight]_0^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$।दिया गया है $k = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx \frac{3.14159}{1.732} \approx 1.81$।$k$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $\lfloor 1.81 floor = 1$ है।

यदि $\int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}=k$ है,तो $k$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{1/2} |\sin(4\pi x)| \, dx =$

समाकलन $\int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \frac{x}{x^2+1} + \tan^{-1} \frac{x^2+1}{x} \right) dx = $

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