यदि $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$,जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $y(\frac{\pi}{6})$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ है। यदि $y^{\prime} + y f^{\prime}(x) - f(x) f^{\prime}(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$ है, तो (जहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}$):

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{4x}{x^2-1}y=\frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ का हल है,जहाँ $x > 1$,और $y(2)=\frac{2}{9}\log_e(2+\sqrt{3})$ तथा $y(\sqrt{2})=\alpha\log_e(\sqrt{\alpha}+\beta)+\beta-\sqrt{\gamma}$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in N$,तो $\alpha\beta\gamma$ का मान $........$ है।

अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

अवकल समीकरण $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0, (x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है)

अवकल समीकरण $x \cdot \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का समाकलन गुणक $(x \neq 0)$ ज्ञात कीजिए।