यदि y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}+frac{4x}{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{4x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ है।समाकलन ग

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{4x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{4x}{x^2-1} dx} = e^{2\ln(x^2-1)} = (x^2-1)^2$ है।दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}[y(x^2-1)^2] = \frac{x+2}{(x^2-1)^{1/2}}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$y(x^2-1)^2 = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx + \int \frac{2}{\sqrt{x^2-1}} dx = \sqrt{x^2-1} + 2\ln(x+\sqrt{x^2-1}) + C$ प्राप्त होता है।शर्त $y(2) = \frac{2}{9}\ln(2+\sqrt{3})$ का उपयोग करने पर,$C = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$y(\sqrt{2}) = 1 + 2\ln(\sqrt{2}+1) - \sqrt{3}$ है।तुलना करने पर $\alpha=4, \beta=1, \gamma=3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha\beta\gamma = 12$।

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$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

$0 \leq x < 1$ के लिए $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है):

मान लीजिए कि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $2(y + 2) \log_e(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \log_e(y + 2)) dy = 0$,$y > -1$ का हल है,जहाँ $x(e^4 - 2) = 1$ है। तो $x(e^9 - 2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{dy}{dx} + \frac{3}{\cos^2 x} y = \frac{1}{\cos^2 x}$,$x \in \left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right)$ और $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$ है,तो $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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