माना g एक अवकलनीय फलन है ताकि int_0^x g(t) dt | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g(x) = 1 - xg(x)$। अतः $g(x)(1+x) = 1$,जिसस

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$\frac{4 \pi}{3}$

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(B) दिया गया है $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g(x) = 1 - xg(x)$। अतः $g(x)(1+x) = 1$,जिससे $g(x) = \frac{1}{1+x}$ प्राप्त होता है। अब $g(x)$ का मान अवकल समीकरण में रखने पर: $\frac{dy}{dx} - y 	an x = 2(x+1) \sec x \cdot \frac{1}{1+x} = 2 \sec x$। यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int -	an x dx} = \cos x$ है। समीकरण का हल $y \cos x = \int 2 \sec x \cdot \cos x dx + C = \int 2 dx + C = 2x + C$ है। $y(0) = 0$ होने के कारण,$C = 0$ प्राप्त होता है। अतः $y = 2x \sec x$। $x = \frac{\pi}{3}$ पर,$y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \frac{4 \pi}{3}$।

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मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ का हल है,जहाँ $y(0) = 1$ है। तो

$x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) है

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$ का हल वक्र है,जहाँ $y(1) = 0$ है। तो $y(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}, y(0) = 0$ का हल है

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