यदि $\vec{a}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{j}+2 \hat{k}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ रैखिक रूप से आश्रित सदिश हैं और $\vec{a}$ का परिमाण $\sqrt{14}$ है। यदि $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha+\beta=$

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं,तो $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec{a} \cdot \vec{a}} & {\vec{a} \cdot \vec{b}} & {\vec{a} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{b} \cdot \vec{a}} & {\vec{b} \cdot \vec{b}} & {\vec{b} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{c} \cdot \vec{a}} & {\vec{c} \cdot \vec{b}} & {\vec{c} \cdot \vec{c}} \end{array}} \right| = \dots$

यदि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 2$ और $\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 3$ है,तो $[\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}), \vec{b} \times(\vec{c} \times \vec{a}), \vec{c} \times(\vec{b} \times \vec{a})]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A(5, -1, 1)$, $B(7, -4, p)$, $C(1, -6, 10)$, और $D(-1, -3, 7)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का आयतन $11 \text{ cubic units}$ है। $p$ का एक मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\overrightarrow{PR}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\overrightarrow{SQ}=\hat{i}-3 \hat{j}-4 \hat{k}$ एक समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण हैं और $\overrightarrow{PT}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ एक अन्य सदिश है। तो सदिशों $\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।

$\mu$ के उन भिन्न वास्तविक मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए सदिश $\mu \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + \mu \hat{j} + \hat{k}$,और $\hat{i} + \hat{j} + \mu \hat{k}$ समतलीय हैं।