જો $a, b, c, d$ સમતલીય સદિશો હોય,તો $(a \times b) \times (c \times d)$ ની કિંમત શું થાય?

જો $P=3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$ અને $Q=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ એ ત્રિકોણની બે બાજુઓ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ થાય.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ બે સદિશો છે. જો $A_1$ એ $\vec{a}, \vec{b}$ ને વિકર્ણો તરીકે ધરાવતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ હોય અને $A_2$ એ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ ને પાસપાસેની બાજુઓ તરીકે ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $A_1 \cdot A_2=$

ધારો કે $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
વિધાન $(A)$ : નિત્યસમ $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2=2|\overrightarrow{a}|^2$ એ $\overrightarrow{a}$ માટે સાચું છે.
કારણ $(R)$ : $\overrightarrow{a} \times \hat{i}=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}$,$\overrightarrow{a} \times \hat{j}=a_1 \hat{k}-a_3 \hat{i}$,અને $\overrightarrow{a} \times \hat{k}=a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}$.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $\bar{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\bar{b}=\hat{i}+\hat{j}$ અને $\bar{c}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $|\bar{c}-\bar{a}|=4$,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|=3$ અને $\bar{c}$ તથા $\bar{a} \times \bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\bar{a} \cdot \bar{c}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $2\hat{a} = \hat{b} \times \hat{c} + 2\hat{b}$ છે,તો $\left| 2\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} \right|$ ની શક્ય કિંમત(ઓ)નો સરવાળો કેટલો થાય?