यदि alpha_1, beta_1, gamma_1, delta_1 समीकरण | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$ समीकरण $a x^4+b x^3+c x^2+d x+e=0$ के मूल हैं। समीकरण $e x^4+d x^3+c x^2+b x+a=0$ के मूल पह

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$8$

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(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$ समीकरण $a x^4+b x^3+c x^2+d x+e=0$ के मूल हैं। समीकरण $e x^4+d x^3+c x^2+b x+a=0$ के मूल पहले समीकरण के मूलों के व्युत्क्रम हैं। अतः,$\alpha_2 = \frac{1}{\delta_1}, \beta_2 = \frac{1}{\gamma_1}, \gamma_2 = \frac{1}{\beta_1}, \delta_2 = \frac{1}{\alpha_1}$। दिया गया है $\alpha_1 - \delta_2 = 2 \implies \alpha_1 - \frac{1}{\alpha_1} = 2 \implies \alpha_1^2 - 2\alpha_1 - 1 = 0$। दिया गया है $\delta_1 - \alpha_2 = 4 \implies \delta_1 - \frac{1}{\delta_1} = 4 \implies \delta_1^2 - 4\delta_1 - 1 = 0$। चूंकि $\alpha_1$ और $\delta_1$ चतुर्थ घात समीकरण के मूल हैं,इसलिए द्विघात गुणनखंड $(x^2 - 2x - 1)$ और $(x^2 - 4x - 1)$ हैं। अतः,$a x^4+b x^3+c x^2+d x+e = (x^2 - 2x - 1)(x^2 - 4x - 1)$। $a+b+c+d+e$ ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखने पर: $a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e = (1^2 - 2(1) - 1)(1^2 - 4(1) - 1)$। $a+b+c+d+e = (-2)(-4) = 8$।

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