यदि alpha, beta और gamma समीकरण x^3+p x^2+q x | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ के मूल हैं। विएटा के सूत्रों से: $\alpha+\beta+\gamma = -p$,$\alpha\beta+\beta\g

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$q^2+p r$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ के मूल हैं। विएटा के सूत्रों से: $\alpha+\beta+\gamma = -p$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$,और $\alpha\beta\gamma = -r$। माना नए मूल $y_1 = \alpha(\beta+\gamma)$,$y_2 = \beta(\gamma+\alpha)$,और $y_3 = \gamma(\alpha+\beta)$ हैं। यहाँ $\alpha(\beta+\gamma) = \alpha(\beta+\gamma+\alpha) - \alpha^2 = -p\alpha - \alpha^2$। समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ से,$\alpha^3+p\alpha^2 = -q\alpha-r$। $\alpha$ से भाग देने पर,$\alpha^2+p\alpha = -q - \frac{r}{\alpha}$। अतः,$y_1 = -(-q - \frac{r}{\alpha}) = q + \frac{r}{\alpha}$। इसी प्रकार,$y_2 = q + \frac{r}{\beta}$ और $y_3 = q + \frac{r}{\gamma}$। माना $y = q + \frac{r}{x}$,तो $x = \frac{r}{y-q}$। इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $(\frac{r}{y-q})^3 + p(\frac{r}{y-q})^2 + q(\frac{r}{y-q}) + r = 0$। $r$ से भाग देने पर: $\frac{r^2}{(y-q)^3} + \frac{pr}{(y-q)^2} + \frac{q}{y-q} + 1 = 0$। $r^2 + pr(y-q) + q(y-q)^2 + (y-q)^3 = 0$। विस्तार करने पर: $y^3 - 2qy^2 + (q^2+pr)y + (r^2-prq) = 0$। अतः $y$ का गुणांक $q^2+pr$ है।

List-$I$	List-$II$
$(i) \alpha = \beta$	$(A) (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$
$(ii) \alpha = 2\beta$	$(B) 2b^2 = 9ac$
$(iii) \alpha = 3\beta$	$(C) b^2 = 6ac$
$(iv) \alpha = \beta^2$	$(D) 3b^2 = 16ac$
	$(E) b^2 = 4ac$
	$(F) (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} = b$

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