मान लीजिए कि alpha और beta द्विघात समीकरण a x | vedclass

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Question

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के $m:n$ अनुपात में होने की शर्त $mnb^2 = ac(m+n)^2$ है।$(i)$ यदि $\alpha = \beta$ है,तो अनुपात $1:1$

Vedclass · Accepted Answer

$i-E, ii-B, iii-D, iv-A$

Vedclass · Answer

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के $m:n$ अनुपात में होने की शर्त $mnb^2 = ac(m+n)^2$ है।$(i)$ यदि $\alpha = \beta$ है,तो अनुपात $1:1$ है। सूत्र में $m=1, n=1$ रखने पर: $(1)(1)b^2 = ac(1+1)^2 \Rightarrow b^2 = 4ac$. यह $(E)$ से मेल खाता है।$(ii)$ यदि $\alpha = 2\beta$ है,तो अनुपात $2:1$ है। $m=2, n=1$ रखने पर: $(2)(1)b^2 = ac(2+1)^2 \Rightarrow 2b^2 = 9ac$. यह $(B)$ से मेल खाता है।$(iii)$ यदि $\alpha = 3\beta$ है,तो अनुपात $3:1$ है। $m=3, n=1$ रखने पर: $(3)(1)b^2 = ac(3+1)^2 \Rightarrow 3b^2 = 16ac$. यह $(D)$ से मेल खाता है।$(iv)$ यदि $\alpha = \beta^2$ है,तो $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$. $\alpha = \beta^2$ रखने पर,हमें $\beta^2 + \beta = -b/a$ और $\beta^3 = c/a$ प्राप्त होता है। अतः $\beta = (c/a)^{1/3}$. इसे $\beta^2 + \beta = -b/a$ में रखने पर: $(c/a)^{2/3} + (c/a)^{1/3} = -b/a$. $a$ से गुणा करने पर: $a(c/a)^{2/3} + a(c/a)^{1/3} = -b \Rightarrow (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$. यह $(A)$ से मेल खाता है।अतः,सही मिलान $(i)-E, (ii)-B, (iii)-D, (iv)-A$ है।

List-$I$	List-$II$
$(i) \alpha = \beta$	$(A) (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$
$(ii) \alpha = 2\beta$	$(B) 2b^2 = 9ac$
$(iii) \alpha = 3\beta$	$(C) b^2 = 6ac$
$(iv) \alpha = \beta^2$	$(D) 3b^2 = 16ac$
	$(E) b^2 = 4ac$
	$(F) (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} = b$

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