જો z = frac{-1-i sqrt{3}}{2} હોય,તો sum_{k=1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega

Vedclass · Accepted Answer

$4044$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$. વળી,$\frac{1}{\omega} = \omega^2$. પદાવલિ $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^k + \omega^{2k})^2 = \sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k})$ છે. $\omega^{3k} = 1$ હોવાથી,આ $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^k + 2)$ બને છે. સરવાળાને અલગ પાડતા: $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} + \sum_{k=1}^{2022} \omega^k + \sum_{k=1}^{2022} 2$. $2022$ એ $3$ નો ગુણક હોવાથી,$3$ પદો પર $\omega$ ની ઘાતનો સરવાળો $0$ થાય છે. તેથી,$\sum_{k=1}^{2022} \omega^k = 0$ અને $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} = 0$. કુલ સરવાળો $0 + 0 + 2 	imes 2022 = 4044$ થાય છે.

જો $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$ હોય,તો $\sum_{k=1}^{2022} \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right)^2 = $

Similar Questions

$(\sqrt{3}-i)^{\frac{2}{5}}$ ની કિંમતોમાંની એક કિંમત કઈ છે?

સંકર સંખ્યા $(1+i)^{3/4}$ ના ચાર મૂલ્યોનો ગુણાકાર શું થાય?

$\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7}} \right)} $ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{23}$ એ એકમના $23^{rd}$ મૂળ હોય,તો $\alpha_1^{47} + \alpha_2^{47} + \ldots + \alpha_{23}^{47} = $

ધારો કે $\omega (\neq 1)$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. તો ગણ $\{|a+b\omega+c\omega^2|^2 : a, b, c \text{ એ ભિન્ન શૂન્યતર પૂર્ણાંકો છે}\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module